Netradičné počítanie

V matematike existuje množstvo presne stanovených postupov, algoritmov, dbá sa na precíznu prácu s definíciami, so vzorcami, s použitím viet a ďalších konštrukcií, ktoré majú viesť k vypočítaniu správneho výsledku.

No predsa len existujú určité postupy, ktoré sa nejakým spôsobom z tohto radu vymykajú a môžu ich používateľov doviesť k výsledku rýchlejšie a jednoduchšie. Ukážeme si teraz dva netradičné, ale už v minulosti používané postupy, ktoré môžeme využiť pri násobení dvoch čísiel a pri výpočte odmocnín.

Násobenie dvoch čísiel (násobenie gelosia)

Násobenie gelosia (alebo „per gelosia“, mriežkové násobenie, či žalúziová metóda) je starobylý algoritmus na násobenie viacciferných čísel, ktorý vznikol pravdepodobne v Indii a v 15. storočí bol populárny medzi talianskymi kupcami. Táto metóda vizuálne rozkladá komplexný príklad na menšie, jednoduchšie násobenia pomocou mriežky (tabuľky). Pri tomto postupe sa využíva vytvorená mriežka m×n, kde m je počet číslic prvého činiteľa a n počet číslic druhého činiteľa. Každé políčko mriežky sa diagonálne rozdelí na dve časti, do ktorých sa vpisujú jednotlivé súčiny číslic oboch činiteľov a na koniec sa tieto súčiny sčítajú a získa sa tak výsledný súčin.

Krok 1. Vytvorenie základnej mriežky. Zoberme si príklad 345×26. Prvý činiteľ má 3 číslice a to 3, 4 a 5. Druhý činiteľ má dve číslice 2 a 6. To sú východzie prvky nášho postupu a z nich môžeme skonštruovať základnú mriežku. Ako vidíte z obrázka, do záhlavia mriežky sme uviedli číslice prvého činiteľa a na jej pravý bok číslice druhého činiteľa, pričom políčka sú diagonálne rozdelené.

Krok 2: Vyplnenie mriežky násobením. Teraz jednoducho vynásobíme číslice, ktoré sa stretávajú. Výsledok zapíšeme do políčka (desiatky nad čiaru, jednotky pod čiarou, pri jednočíselnom násobku na miesta desiatok napíšeme 0).

• Horný riadok (násobíme dvojkou):
  • 5×2=10
  • 4×2=08
  • 3×2=06
• Dolný riadok (násobíme šestkou):
  • 5×6=30
  • 4×6=24
  • 3×6=18

Výsledok tohto kroku je na obrázku.

Krok 3: Sčítanie po uhlopriečkach. Posledný krok je sčítanie čísel v „šikmých chodbách“. Začíname vpravo dole a postupujeme doľava hore. Výsledky píšeme po obvode.

1. Prvá uhlopriečka (vpravo dole): Tam je len 0. Zapíšeme 0.
2. Druhá uhlopriečka: 0+3+4=7. Zapíšeme 7.
3. Tretia uhlopriečka: 1+8+2+8=19. Zapíšeme 9 a jednotku si prenesieme do ďalšej uhlopriečky (všimni si malú jednotku pri deviatke v obrázku).
4. Štvrtá uhlopriečka: 0+6+1 plus prenesená 1=8. Zapíšeme 8.
5. Piata uhlopriečka (vľavo hore): Tam je len 0. Zapíšeme 0.

Výsledok tohto kroku je na obrázku.

A správne uvažujete, výsledok súčinu oboch činiteľov 345 a 26 je číslo po obvode mriežky: 08970 (pričom prvú nulu zľava vo výsledku neuvádzame). A to je všetko, takto jednoducho vypočítate súčin dvoch čísel bez kalkulačky.

Geometrická konštrukcia výpočtu druhej odmocniny

Použitie tejto metódy pri výpočte druhej odmocniny čísla je fascinujúce tým, že premieňa abstraktné číslo na reálnu dĺžku úsečky, ktorú môžeme jednoducho odmerať pravítkom. Tento postup je reálnym použitím Euklidovej vety o výške, ktorá znie: v pravouhlom trojuholníku sa obsah štvorca zostrojeného nad výškou v_c spustenou na preponu rovná obsahu obdĺžnika, ktorého strany sú úseky prepony (c_a, c_b) priľahlé k odvesnám. Vzorec je v_c² = c_a×c_b,kde v_c je výška nad preponou c_a, c_b sú úseky prepony. Ako uvidíme, postup využíva geometriu na riešenie úloh z aritmetiky.

Krok 1: Vytvorenie základne (prepony). Máme za úlohu vypočítať √3 (druhú odmocninu z 3). Narysujeme vodorovnú čiaru. Odmeriame na nej 3 cm a hneď za nimi odmeriame ďalší 1 cm. Bod, kde sa tieto dve časti spájajú, si označíme ako P (to je päta našej budúcej odmocniny). Celá úsečka má teda 4 cm.

Krok 2: Thalesova polkružnica. Nájdime presný stred našej 4 cm úsečky (v 2 cm). Zapichnime tam kružidlo a narysujme polkružnicu, ktorá spája začiatok a koniec úsečky. Táto polkružnica nám zabezpečí, že akýkoľvek trojuholník, ktorý v nej vytvoríme, bude mať pri vrchole pravý uhol.

Krok 3: Výsledná odmocnina. V bode P narysujeme kolmicu (pravý uhol) smerom nahor. Tam, kde sa táto kolmica pretne s polkružnicou, končí naša hľadaná úsečka, ktorej dĺžka je presne √3​. Ak ju teraz zmeriame, dostaneme jej dĺžku približne 1,73 cm, čo je √3. Celá konštrukcia je znázornená na tomto obrázku.

Ukázali sme si dva možné netradičné matematické postupy. Nie sú zložité a umožňujú rýchly prístup k správnemu výsledku. Na internete existuje veľké množstvo takýchto postupov, môžete si ich nájsť, naučiť sa ich a ohurovať nimi všetkých vo svojom okolí. My sa k takýmto netradičným postupom tiež určite vrátime a budeme ich aj na tomto bloku predstavovať častejšie.